18. Permutaciones con repetición

Si se quiere permutar (arreglar) objetos, dentro de los cuales hay varios repetidos, entonces se pueden contar las posibilidades de arreglos diferentes usando:
 

Donde $n_1+n_2+...+n_k =n$

Pero si se intercambian las dos primeras bombillas amarillas entre sí vemos:

¡ No se aprecia el cambio ! Por lo tanto, ese cambio no cuenta como arreglo, de modo que al aplicar la fórmula anterior se descuentan todos esos arreglos que son iguales entre sí, de forma tal que las posibilidades de arreglos diferentes que se tienen son:

Ejemplo: Imaginemos que tenemos 5 monedas de 100 centavos, de las cuales dos están en posición de cara y tres en posición de cruz. ¿Cuántas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre estén dos en posición de cara y tres en posición de cruz?

Las ordenaciones posibles son:

Si las monedas son distinguibles tendríamos: P₅ = 5! =120 formas distintas

Pero como son del mismo tipo de moneda, sólo se deben considerar una por cada $2! * 3! = 12. En consecuencia, de las 120 permutaciones ordinarias iniciales solo tendremos:

Esta es una permutación con repetición de cinco elementos, donde uno se repite tres veces y otro dos veces.

Definición y número de permutaciones con repetición.

Ejemplo: El mismo caso de las monedas pero ahora con un total de 11 monedas en las que 6 están en posición de cara y 5 en posición de cruz. El número de ordenaciones posibles es de:

Ejercicio: Un apostador tiene el presentimiento de que en la próxima jornada futbolística (en un torneo nacional con 28 equipos) ganarán 9 equipos en casa, empatarán 3 y ganarán en campo contrario (de visitantes) 2. ¿Cuántas apuestas deberá realizar para asegurarse un pleno de 14?

Sln. / Se trata de las permutaciones de 14 elementos, entre los cuales:

 - El elemento 1 aparece 9 veces (ganadores locales)

 - El elemento 2 aparece tres veces (empates)

 - El elemento 3 aparece 2 veces (ganadores de visitante).

Las permutaciones son:

Ejemplo

Susana quiere hacer una clave mezclando las letras de su nombre, ¿Cuántas permutaciones puede hacer para escoger su contraseña?

Solución. Vemos que las letras repetidas son: $s:2, a:2$, luego se tienen

SARA también escoge su clave a partir de las letras de su nombre, seguido del año de nacimiento de su madre, en este caso cuántas claves y dé la lista.

Las posibles claves son:

  SARA  ASAR  ASRA  RASA
  SAAR  AASR  ARSA  RSAA
  SRAA  AARS  ARAS  RAAS

Combinaciones

Combinaciones sin repetición

Algunas veces estamos interesados en seleccionar sin orden específico r objetos de un total n. A esa selección se le denomina combinación _nC_r

Que hay una relación con la _nP_r:

Miremos un ejemplo:
Supongamos que se quiere escoger 3 ingenieros químicos dentro de un grupo de 8. Aclaremos además, que este procedimiento implica escoger al azar a estas 3 personas, sin ningún tipo de preferencia o condicionamiento por o hacia alguno de ellos. Entonces las formas de seleccionar a los 3 ingenieros de 8 posibles serán:

Hay 56 formas de seleccionar a los 3 ingenieros.

Ejemplo:

En una frutería ofrecen entre sus productos distintas mezclas con zumos de frutas. El cliente puede seleccionar entre 6 zumos de frutas diferentes y obtener algún sabor en particular de la mezcla de dos zumos en partes iguales. ¿Entre cuántos sabores distintos puede el cliente hacer su pedido?

Sln/ Vamos a representar cada zumo con las letras A, B, C, D, E y F. Al mezclar dos zumos y teniendo en cuenta que el orden no influye, se podrían obtener los siguientes sabores:

Es decir, 15 sabores diferentes.

Con la fórmula (también el simbolo ${}_n \mathrm{ C }_r$ lo encuentra en la calculadora):

¿Qué pasa si se deciden ofrecer sabores combinando 3 zumos de frutas?

En este caso tendremos ₆C₃, aplicando la ecuación directamente tendremos:

Es decir 20 sabores diferentes.

Ejemplo

Una heladería de un pueblo ofrece 5 sabores distintos entre: Feijoa, Vainilla, Pistacho, Maracuya, Avellana. ¿De cuántas formas se puede comprar un cono triple (con 3 sabores distintos).

Solución. Además de que no importa el orden, también se suele asociar la combinación con la posibilidad de "Escoger r objetos de un total de n"

Que se listan a continuación (recuerde que no importa el orden, es decir (M,V,P) es igual a (V,M,P):

  AFM   APV
  AFP   FMP
  AFV   FMV
  AMP   FPV
  AMV   MPV

Ejemplo:

Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 15 personas para cubrir tres cargos administrativos. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar?

Sln:/ Teniendo en cuenta que para este caso en particular no influye el orden, se trata de una combinación C_15,3:

Luego son 455 grupos distintos

b. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar si se retiran tres de los aspirantes?

Rta: 220 grupos distintos

Ejemplo:Cuántos triángulos distintos se pueden formar con ocho puntos en el plano si nunca hay tres de ellos alineados?

Sln./ Para que dos triángulos sean distintos, se tienen que diferenciar al menos en un vértice. Por consiguiente, como no influye el orden en que se tomen los vértices, el número de triángulos distintos que se puede formar es ${}_{8} \mathrm{ C }_3$ :

Luego son 56 triángulos distintos

Ejemplos varios

Veamos algunos ejemplos adicionales de lo que hemos visto.
1.
a. Encontremos los arreglos diferentes que se pueden hacer con las letras de la palabra PESO
En este caso de trata de una permutación de cuatro letras diferentes, todas distinguibles entre sí.
En este caso es como si tuviéramos 4 casillas disponibles para colocar en ellas las letras

b. Permutaciones con la palabra VACA.
Se tienen nuevamente cuatro letras pero esta vez dos de ellas son iguales y no se pueden distinguir entre sí, por lo tanto se deben descontar los arreglos que se vean iguales entre sí:

Si se hiciera el conteo de cada uno de ellos solo serían distinguibles entre sí, 12 .

2. Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los 6 números {1,3,4,5,6,7,8}.

a.  Si no se admiten repeticiones: para este ejemplo la forma de resolver el ejercicio es igual al planteado anteriormente: se tienen 6 números para colocar sólo en tres casillas. En una primera casilla puede ir cualquiera de los 7 números, en la segunda quedan cualquiera de 6 disponibles (no se admite repetir número) y en la última casilla cualquiera de 5

Para aclarar un poco más el ejemplo basta entender que al no admitir repetición de números, entonces el número de 3 dígitos 355 no es válido según la restricción impuesta debido a que el 5 se repite y esto no se acepta.
 

b. Con repetición: si este es el caso, entonces en cada una de las casillas puede ir cualquiera de los 7 números disponibles ya que las repeticiones sí son aceptadas.
Entonces:

c. Si se quiere que sean pares sin repeticiones: dentro de los números dados las posibilidades son que terminen en 4, en 6 o en 8, por lo tanto sólo hay 3 opciones para el último dígito y tras haber fijado este número sólo quedarían 6 números disponibles (no se admiten repeticiones) para la primera casilla y 5 para la segunda.
Entonces:

3. En un talego hay 6 balotas blancas y 5 verdes.
a. Encontremos el número de formas de sacar 4 balotas del talego si pueden ser de cualquiera de los dos colores.
En este caso se va a realizar una selección, en ella no interesa el orden y sólo se trata sacar las balotas sin importar el color. Este es un ejercicio típico de combinación (selección) donde se busca sacar 4 balotas de 11.
Entonces:

hay 150 maneras de sacar 2 balotas blancas y 2 verdes

Coeficiente multinomial

El número de formas de particionar un conjunto de n objetos en r celdas con $n_1$ objetos en la primera celda, $n_2$ en la segunda celda y así sucesivemente, es:

donde $n_1 + n_2 + ...+ n_r = n$$.

Observe que la fórmula es similar a la permutación con repetición, pero el contexto es diferente.

Este es el coeficiente multinomial, y se aplica en ejercicios donde las celdas son:

- Habitaciones de hotel para hospedar a un grupo de personas.
- Salones de clase para distribuir a estudiantes en varios grupos.
- Varios vehículos para transportar a un grupo de personas.
- e.t.c, e.t.c.

Ejemplo

Los 25 nuevos estudiantes de medicina van a ser repartidos en 4 grupos para una actividad teórica-práctica en un hospital, en grupos de 4,7,8 y 6 respectivamente. ¿cuántas reparticiones son posibles?

Solución. En este caso, se tiene:

Ejemplo

Un grupo de 12 estudiantes de una universidad en Bogotá, van a un simposio a Cartagena de Indias.
a) La universidad los transporta a 5 en una camioneta, 4 en un vehículo con el profesor Wilson y otros 3 en otro vehículo con la doctora Juliana. Si la repartición se hace completamente sin preferencias, ¿de cuántas formas se pueden transportar los estudiantes?

Según el contexto del problema, la solución es:

b)Los estudiantes van a ser hospedados en un Hotel con cuatro habitaciones, una con capacidad para cuatro, dos triples y una doble. ¿De cuántas formas posibles se pueden hospedar a los estudiantes?

Solución.

Al aplicar el multinomial con dos particiones, se llega al combinatorio. En este se tienen dos grupos,el primer grupo son los $r$ que se escogen y el segundo grupo los $n-r$ que no se escogen:

Al aplicar el multinomial, se tiene:

que corresponde a la fórmula de la combinación.

Ahora es momento de practicar y evaluarse con los temas tratados con el Cuestionario Técnicas de Conteo