Ya que muchos (no todos) los problemas de Probabilidad se pueden resolver mediante el conteo de los resultados de un Experimento aleatorio, se desarrollarán en esta seccion varios principios de conteo que son de gran utilidad para solucionar problemas de probabilidad
La siguiente definición usa el concepto de conjunto para referirse a todos los resultados posibles de un experimento de probabilidad.
La probabilidad mide el elemento de aleatoriedad que se encuentra asociado a la ocurrencia de determinados eventos. El objetivo inicialmente es contar los distintos arreglos de los puntos en un espacio muestral sin que se tenga que anotar cada uno de ellos.
Por ejemplo, miremos qué pasa cuando se lanza una moneda. Qué puedo obtener al lanzarla, solamente cara o sello , no hay más opciones en esa moneda. Cuando se trata de contar las posibilidades en una moneda....fácil, pero y si es algo más complicado que una moneda..... ?
Supongamos que la señora que nos hace el favor de vendernos el almuercito solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas (sopa con verduras, de pasta, de arroz y de plátano), además sólo sabe hacer 3 tipos de platos fuertes (con frijoles, con lentejas y con verduras), sabe hacer además postre de natas, de guayaba y mielmesabe y sólo da agua con el almuerzo.
¿QUÉ POSIBILIDADES DE ALMUERZO TENEMOS PARA HOY ?
etc., etc, etc...
Alguno dirá : ¡Cambie de restaurante ! (tiene razón)... y otros
observarán todas las posibles variaciones que se pueden generar aún siendo tan
pequeño el menú, sólo enunciamos 5 de 36 posibilidades para el almuerzo de hoy.
Por lo tanto, no es fácil hacer el conteo para todas esas variaciones y más si
se hace una por una. Por ello existen técnicas que sin duda facilitan
notablemente los conteos de todas las posibilidades existentes.
Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se escriben entre paréntesis y separando los elementos por comas. Por ejemplo la lista (1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1, el segundo el 2, el tercer elemento es el 3 y el cuarto elemento es el conjunto de los números enteros.
El orden en que aparecen los elementos en una lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es diferente de la lista (6,4,2) y de la lista (4,2,6) sin importar que los elementos sean los mismos.
Los elementos en una lista pueden repetirse como en (2,2,3).
La longitud de una lista es la cantidad de elementos que tiene la lista, así en todos los ejemplos anteriores la longitud es de tres, mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud de cuatro.
Una lista de longitud dos tiene el nombre especial de par ordenado.
Una lista de longitud cero se llama lista vacía y se representa por un paréntesis sin elementos en él: ( ).
Con frecuencia las coordenadas de un punto en un plano se especifican mediante un par ordenado de números reales (x,y).
Ejemplo. Se desea hacer una lista de dos elementos, en los lugares de la lista pueden estar cualquiera de los dígitos 2, 4, 6 o 8. ¿Cuántas listas con estas características son posibles?. La forma más directa de responder es escribiendo todas las posibilidades:
| (2,2) | (2,4) | (2,6) | (2,8) |
| (4,2) | (4,4) | (4,6) | (4,8) |
| (6,2) | (6,4) | (6,6) | (6,8) |
| (8,2) | (8,4) | (8,6) | (8,8) |
Hay 16 listas posibles.
Se organizan las listas de manera que estemos seguros de que no hemos repetido ni olvidado alguna. El primer renglón de la tabla contiene todas las listas posibles que comienzan con 2, el segundo las que comienzan con cuatro y así sucesivamente. Vemos que como el segundo elemento de cada lista corresponde a la columna, entonces la primera columna comienza con el primer elemento que es el 2, la segunda columna con el cuatro y así sucesivamente. Por todo lo anterior hay 4 filas y cuatro columnas o 4x4 = 16 listas posibles con los cuatro dígitos 2, 4, 6 y 8.
Vamos a generalizar más este ejemplo. Se desea conocer la cantidad de listas posibles de dos elementos donde haya n elecciones posibles para cada elemento de la lista. Ahora supongamos que los elementos posibles son los enteros pares desde el 2 al n. Igual que antes, organizamos todas las listas posibles en una tabla:
| (2,2) | (2,4) | (2,6) ... | (2,n) |
| (4,2) | (4,4) | (4,6) ... | (4,n) |
| (6,2) | (6,4) | (6,6) ... | (6,n) |
| . | . | . | . |
| : | : | : | : |
| (n,2) | (n,4) | (n,6) ... | (n,n) |
La primera fila contiene todas las listas que comienzan con 2, la segunda fila las listas que comienzan con 4 y así sucesivamente. Hay en total n filas y n columnas, ya que para renglón o fila hay n listas. Por consiguiente hay n x n= n2 listas posibles.
Ahora veamos el caso en que la cantidad de entradas (opciones) para la segunda posición es diferente de las opciones para la primera. Por ejemplo imagine que una comida es una lista de dos elementos, formada por una entrada (o plato principal) y el postre. La cantidad de postres podría ser diferente a la de las entradas posibles.
De esta forma nos preguntamos ahora ¿cuántas listas son posibles de dos elementos en las que haya n opciones para el primer elemento y m opciones para el segundo?. Supongamos que los elementos posibles en la primera posición de la lista son los enteros del 1 al n y los posibles para la segunda posición son los enteros del 1 al m. Como antes tenemos la siguiente tabla con las diferentes posibilidades:
| (1,1) | (1,2) | (1,3) ... | (1,m) |
| (2,1) | (2,2) | (2,3) ... | (2,m) |
| (3,1) | (3,2) | (3,3) ... | (3,m) |
| . | . | . | . |
| : | : | : | : |
| (n,1) | (n,2) | (n,3) ... | (n,m) |
Hay n filas o renglones (con el primer elemento igual en cada una de las listas), y cada fila contiene m listas. Por consiguiente la cantidad de listas posibles es:
|
m + m + m +...+ m |
= m X n |
|
n veces |
| Definición 13.1 Principio de Multiplicación: Consideremos listas de dos elementos en las que hay n opciones para la primera posición, y cada opción del primer elemento tiene m opciones para el segundo elemento. Entonces la cantidad de estas listas es de nm. |
| Ejemplo 1:
Las iniciales de una persona (suponiendo que sólo nos interesa el primer nombre así tenga segundo nombre) son las listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido (primer apellido). Por ejemplo las iniciales del autor son WC. a. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de las personas? b. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en las que las dos letras sean distintas? (Por ejemplo CC de Carmen Cardona no se permitiría). Para contestar la pregunta y omitiendo la ch (Chavo o Chávez), la Ll por ser letras dobles y deseamos sólo dos iniciales,y la ñ y con un alfabeto al estilo inglés de 26 letras tendremos estos 26 elementos para la primera posición de cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición, luego hay 262 = 676 listas posibles (o en el caso de considerar la ñ 272 =729 listas posibles). b. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dos elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento (n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (m=25). Por consiguiente hay 26 x 25 listas (nm listas posibles). |
| Ejemplo 2: Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien más como vicepresidente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos? Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: ¿Cuántas listas de dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no esté repetida)?. hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posición, n=15) y para cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m=14) para el segundo elemento de la lista (el vicepresidente). Según el principio de la multiplicación, hay 15 X 14 (nm) posibilidades. |
El principio de la multiplicación se puede aplicar a listas más largas. Pensemos en las listas de tres elementos o longitud tres. Supongamos que hay a opciones para el primer elemento, para cada uno de estos hay b opciones para el segundo elemento y para cada opción del par formado por el primer y segundo elemento hay c opciones para el tercer elemento. De esta forma hay en total abc listas posibles.
Una forma provechosa de imaginar problemas de conteo de listas es hacer una diagrama con cuadros. Cada cuadro representa una posición en la lista. Escribimos la cantidad de elementos posibles en cada cuadro. El total de listas posibles se calcula multiplicando entre sí esas cantidades.
Ejemplo 3:Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una mesa directiva formada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección, suponiendo que un socio puede ocupar sólo un cargo?. Trazamos el siguiente diagrama:
Esto nos muestra que hay 15 socios para elegir el presidente. Una vez seleccionado el presidente quedan 14 socios para ser elegidos como vicepresidente y en consecuencia hay $15 * 14$ formas de elegir al presidente y al vicepresidente. Una vez elegidos, hay 13 formas de elegir al tercer elemento (el secretario). Una vez elegidos los tres primeros cargos quedarán 12 socios para elegir entre estos al tesorero. En consecuencia hay $15 * 14 * 13 * 12 =32760$ formas diferentes de elegir la mesa directiva. |
Encontrar el número total de placas para cierto vehículo en el país X si debe tener 3 letras distintas del alfabeto Inglés, y terminar en dos números.
Solución. Se observa en la siguiente tabla que se tienen 26 letras para la primera casilla, luego 25 letras y la última casilla con 24 posibles letras ya que deben ser distintas. La cuarta casilla es un número con cualquiera entre 1-10 e igual para la quinta casilla de la placa.
| 26 | 25 | 24 | 10 | 10 |
|---|
De esta forma el total de posibles placas es de:
$$No.Placas = 26 * 25 * 24 * 10 * 10 = 1'560.000$$Un vehículo atropella a una persona y se da a la fuga en el país X. Un testigo afirma:
- La placa tenia una letra N y solo una y terminaba en el número 9. El testigo está seguro porque ese día venia
con la torta de cumpleaños de su hija Natalia para celebrar sus 9 años. Con esta información, ¿cuántas
placas debe investigar la policía?
Como el testigo no está seguro de la posición de la letra N, esta puede estar en la primera, segunda o tercera casilla de la placa. Luego las posibilidades se pueden ver en la siguiente tabla:
| 1: (N) | 25 | 24 | 9 | 1: (9) |
|---|---|---|---|---|
| 25 | 1: (N) | 24 | 9 | 1: (9) |
| 25 | 24 | 1: (N) | 9 | 1: (9) |
Luego el total de placas entre las que se encuentra la del carro fantasma, es:
$$No.Placas=3 * 25 * 24 * 9 = 16.200$$Si además se sabe que se trataba de una camioneta Toyota blanca con vidrios polarizados de los últimos modelos, ya las posibilidades de encontrar al vehiculo fantasma son altas.
También es importante en probabilidad familiarizarse con otras terminologías como las variaciones que veremos a continuación:
Una permutación es una disposición en un orden particular de todos o parte de un conjunto de objetos.
Ejemplo. Considere las letras R,O,M,A. Las permutaciones posibles son:
AMOR MARO RAMO OMAR AMRO MAOR RAOM OMRA ARMO MRAO RMAO OAMR AROM MROA RMOA OARM AOMR MOAR ROAM ORAM AORM MORA ROMA ORMA
Se observa que cada posición debe haber una letra, luego se tiene:
| 4 | 3 | 2 | 1 |
|---|
La primera casilla puede tener cuatro cualesquiera de las letras, para la seguda casilla o posición quedan 3 letras, luego dos y por último uno.
Lo cual nos da las 24 posibilidades.
En general $n$ objetos distintos se pueden organizar en
$$n(n-1)(n-2)(n-3)...(3)(2)(1) formas$$Este es el factorial de un número $n$, es decir:
Dado un número $n$, el factorial de $n$ expresado como $n!$ es:
$$n!=n(n-1)(n-2)(n-3)...(3)(2)(1)$$Y en el caso de las letras, se observa que se puede resolver la cantidad de permutaciones como
$$4!=4*3*2*1 = 24$$En general se tiene
| El número de permutaciones de $n$ objetos distintos es $n!$ |
|---|
Ejemplo 1:
Cinco amigos que están en una piscina, después de haberse lanzado por el deslizadero gigante, observan que cada vez que llegan a la parte superior para el nuevo lanzamiento hacen cola en distinto orden. ¿De cuántas formas podrán hacer cola para arrojarse de nuevo?
Observe que para la primera posición hay cinco personas, cuatro para la segunda, etc.
De esta forma tenemos que el número de formas distintas de hacer cola es:
$5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120$
Como observamos, en este caso intervienen a la vez todos los elementos y únicamente varía el orden de colocación.
Ejemplo
En un campeonato suramericano de Fútbol llegan a un cuadrangular final los cuatro seleccionados de Brasil, Argentina, Colombia y Uruguay. Formar las diferentes clasificaciones para los cuatro primeros puestos del torneo. ¿Cuántas hay?
Representamos por sus iniciales a cada seleccionado y mediante un diagrama de árbol se obtiene:
De aquí vemos que hay : P4 = 4! = 4·3·2·1 = 24 clasificaciones distintas.
Ejemplo : De
cuántas formas puede edu.alceres.com colocar a 3 programadores de sistemas en 3
diferentes ciudades. Si los programadores están disponibles para cualquiera de 5
ciudades.
Entonces se tienen 3 programadores disponibles pero hay 5 posibles ciudades a
donde ellos pueden ir. ¿De cuántas formas podríamos ubicarlos?
 |
Como las dos letras siempre van a estar juntas y en el mismo orden, las podemos considerar como si fuera una sola letra. Por esta razón es una permutación realmente de sólo siete elementos:
$P7 = 7! = 7 * 6 * 5 * 4 *3 * 2 * 1 = 5040$ palabras diferentes
Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden sentar nueve personas en una mesa circular?
Hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si trasladamos a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una posición idéntica a la anterior. Por ello dejamos fija una persona y permutamos todas las demás:
$P8 = 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 4032$ formas distintas
A estas permutaciones se las denomina permutaciones circulares de n elementos y se calcula como $(n - 1)!$
Ahora analice el número de permutaciones que se obtiene si de las cuatro letras $A,M,R,O$ se toman 2.
AM MA RA OA AR MO RM OM AO MR RO OR
Se observa que son 12 permutaciones.
En general, si de $n$ ojetos distintos se toman cada vez una parte $r$, la cantidad de permutaciones es $n(n-1)(n-2)...(n-r+1)$
Esto se puede escribir como (también aparece así en la Calculadora):
$${}_n \mathrm{ P }_r =\frac{n!}{(n-r)!}$$Luego, la permutación sin repetición de $n$ objetos distintos tomados $r$ cada vez ($n > r$)
son los distintos grupos o listas que se pueden formar con los $n$
elementos, de manera que:
- En cada grupo entren $r$ elementos, distintos
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de
colocación de éstos .
2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita ninguna cifra?
Como el número 123 es diferente del número 321, luego influye el orden y además no se puede repetir ninguna cifra. Por lo tanto debemos calcular el número de permutaciones de nueve elementos ($n=9$) tomando tres cada vez ($r=3$):
$${}_9 \mathrm{ P }_3 =\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9*8*7*6!}{(6)!}=9*8*7=504$$Conclusión: Se pueden formar 504 números diferentes
3. Se quiere cambiar la bandera de una ciudad de tal forma que esté formada por tres franjas horizontales de igual ancho y distinto color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arco iris?
Como influye el orden en que se establezcan los colores y además no se puede repetir ningún color, tendremos que calcular el número de permutaciones ordinarias de siete elementos ($n=7$) tomando tres cada vez ($r=3$):
$${}_7 \mathrm{ P }_3 =\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7*6*5*4!}{(4)!}=7*6*5=210$$Así la primera franja puede ser cualquiera de los 7 colores, la segunda los 6 restantes y quedan 5 para la tercera franja.
Se pueden tener 210 banderas distintas.
Por supuesto que se necesitaría a un buen diseñador gráfico para que muestre las mejores combinaciones de colores de las banderas ganadoras.
4. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de la clase? ¿Y si el primer asiento está siempre reservado para el delegado del curso?
Para el primer caso debemos calcular el número de permutaciones de 12 elementos ($n=12$) tomados de a cuatro cada vez ($r = 4$):
$${}_{12} \mathrm{ P }_4 =\frac{12!}{(12-4)!}=\frac{12*11*10*9*8!}{(8)!}=12*11*10*9=11880$$Hay 11880 formas distintas de sentar al grupo de los cuatro estudiantes escogidos al azar del total de 12.
En el segundo caso como hay un estudiante menos ($n=11$) en el juego de posibilidades (el delegado siempre va a estar en el primer asiento) y un asiento menos ($r=3$), luego vamos a calcular el número de permutaciones de 11 elementos tomados de a tres:
$${}_{11} \mathrm{ P }_3 =\frac{11!}{(11-3)!}=\frac{11*10*9*8!}{(8)!}=11*10*9=990$$Hay 990 formas distintas de sentar al grupo de los tres estudiantes escogidos al azar del total de 11 incluyendo siempre a un delegado.
Lanzamos cuatro veces consecutivas una moneda obteniendo en cada caso una Cara (C) o Cruz (X). Cuántos resultados distintos podremos obtener?
Formemos el diagrama de árbol correspondiente:
Las distintas ordenaciones que acabamos de obtener se llaman variaciones con repetición de dos elementos tomados de a cuatro cada vez.
Observamos que ahora sigue influyendo el orden, como en el caso anterior, pero además los elementos se pueden repetir:
| Definición: Variaciones con repetición de n elementos tomados
r cada vez (r ≤ n) son
los distintos grupos o listas que se pueden formar con los n
elementos, de manera que: - En cada grupo entren r elementos, repetidos o no. - Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos . El número de variaciones con repetición de n elementos tomando m cada vez se representa por $VR_{n,r} = n^r.$ |
Número de Variaciones con Repetición.
Hemos hallado el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda: $2 * 2 * 2 * 2 = 2^4 = 16$
De la misma forma, podemos hallar el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar:
- Una vez una moneda: 2.
- Dos veces una moneda: $2 * 2 =2^2= 4$ (¿Cuáles son estas posibilidades?)
- Tres veces una moneda: $2 * 2 * 2 = 2^3 = 8
- Ene (n) veces una moneda: $2 * 2 * 2... * 2 = 2^n
En general si queremos hallar el número de variaciones con repetición que se pueden formar con $n$ elementos tomados de a $r$ cada vez, obtendremos: $$VR_{n,r} = n * n * n ...* n = n^r$$ |
Observe que se utiliza cuando un suceso puede ocurrir de $n$ formas (al lanzar una moneda se tienen 2 resultados), y se repite el evento $r$ veces
¿Cuántos resultados se tienen al lanzar dos dados de 6 lados, uno azul y el otro rojo? Realice la lista de estos resultados.
Solución. Los colores se toman en cuenta para que sea evidente que el orden importa. Como cada dado puede dar los números del 1-6, se tiene:
$$No.resultados = 6 * 6 = 6^2 = 36$$Al hacer la lista y colocando el resultado total del lanzamiento, teniendo en cuenta que el primer numero es para el resultado del dado azul y el siguiente para el resultado del dado rojo, se tiene:
| (1,1)=2 | (1,2)=3 | (1,3)=4 | (1,4)=5 | (1,5)=6 | (1,6)=7 |
| (2,1)=3 | (2,2)=4 | (2,3)=5 | (2,4)=6 | (2,5)=7 | (2,6)=8 |
| (3,1)=4 | (3,2)=5 | (3,3)=6 | (3,4)=7 | (3,5)=8 | (3,6)=9 |
| (4,1)=5 | (4,2)=6 | (4,3)=7 | (4,4)=8 | (4,5)=9 | (4,6)=10 |
| (5,1)=6 | (5,2)=7 | (5,3)=8 | (5,4)=9 | (5,5)=10 | (5,6)=11 |
| (6,1)=7 | (6,2)=8 | (6,3)=9 | (6,4)=10 | (6,5)=11 | (6,6)=12 |
Observe que el resultado 7 se puede obtener de cinco formas, mientras que el 2 solo de una forma.
| 2. En el alfabeto Morse se
utilizan dos símbolos: el punto y la raya. ¿Cuántos caracteres diferentes es
posible obtener en el citado alfabeto tomando 1, 2, 3 o 4 de los símbolos citados? Caracteres formados por un sólo símbolo: VR2,1 = 2 Caracteres formados por dos símbolos: VR2,2 = 22 = 4 Caracteres formados por tres símbolos: VR2,3 = 23 = 8 Caracteres formados por cuatro símbolos: VR2,4 = 24 = 16 Total de caracteres diferentes: S = 2 + 4 + 8 + 16 = 30
|
A . _ B _ . . . C _ . _ . D _ . . |
N _ . O _ _ _ P . _ _ . Q _ _ . _ |
|
| E . F . . _ . G _ _ . H . . . . |
R . _ . S ... T _ U . . _ |
||
| I . . J . _ _ _ K _ . _ L . _ . . |
V . . . _ W . _ _ X _ . . _ Y _ . _ _ |
||
| M _ _ 1 . _ _ _ _ 2 . . _ _ _ 3 . . . _ _ |
Z _ _ . . 6 _ . . . . 7 _ _ . . . 8 _ _ _ . . |
||
| 4 . . . . _ 5 . . . . |
9 _ _ _ _ . 0 _ _ _ _ _ |
3. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras?
Tenemos que hallar el número de variaciones con repetición de 10 elementos tomados de a tres, es decir:
VR10,3 = 103 = 1000
Ahora bien, de estos 1000 números habrá muchos que inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto debemos descontar estos números, y tendremos:
VR10,3 - VR10,2 = 103 - 102 = 1000 - 100 = 900
4. Se lanzan tres dados de distintos colores una vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?
Son VR6,3 = 63 = 216 resultados diferentes.
Ejemplo. Si un cuestionario tiene 10 preguntas y cada pregunta tiene A,B,C,D opciones de respuesta, ¿cuántas formas distintas posibles existen de resolver el cuestionario?
Solución. En este caso vemos que $n=4$ y $r=15$, luego hay $4^15 = 1'048.576$ formas distintas de responder el cuestionario.